在概率论和统计学中，正态分布是一种非常重要的连续型随机变量的概率分布。它广泛应用于自然和社会科学领域，例如金融、物理学以及社会科学等。正态分布具有两个核心参数：均值（期望）μ 和 标准差 σ。本文将详细介绍如何通过数学公式推导出正态分布的期望与方差。
正态分布的概率密度函数
正态分布的概率密度函数为：
\[
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
\]
其中：
- \( x \) 是随机变量；
- \( \mu \) 是正态分布的均值（期望）；
- \( \sigma \) 是正态分布的标准差；
- \( \sigma^2 \) 是正态分布的方差。
求解正态分布的期望
期望的定义是随机变量的所有可能取值与其相应概率乘积的总和或积分。对于连续型随机变量，期望可以通过以下公式计算：
\[
E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx
\]
将正态分布的概率密度函数代入上述公式：
\[
E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx
\]
为了简化计算，我们引入一个新的变量 \( z \)，令 \( z = \frac{x - \mu}{\sigma} \)，则 \( x = \mu + \sigma z \)，并且 \( dx = \sigma dz \)。同时，当 \( x \to -\infty \)，\( z \to -\infty \)；当 \( x \to +\infty \)，\( z \to +\infty \)。因此，积分变为：
\[
E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} (\mu + \sigma z) \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} \sigma dz
\]
分离积分项后得到：
\[
E(X) = \mu \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} dz + \sigma \int_{-\infty}^{+\infty} z \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} dz
\]
第一个积分是一个标准正态分布的概率密度函数在整个实数域上的积分，结果为 1：
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} dz = 1
\]
第二个积分是一个关于奇函数 \( z \cdot e^{-\frac{z^2}{2}} \) 的积分，其结果为 0：
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} z \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} dz = 0
\]
因此，最终得出正态分布的期望为：
\[
E(X) = \mu
\]
求解正态分布的方差
方差的定义是随机变量与期望的平方差的期望值，即：
\[
Var(X) = E[(X - E(X))^2]
\]
由于 \( E(X) = \mu \)，所以：
\[
Var(X) = E[(X - \mu)^2]
\]
将其代入正态分布的概率密度函数中：
\[
Var(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - \mu)^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx
\]
同样使用变量替换 \( z = \frac{x - \mu}{\sigma} \)，则 \( x - \mu = \sigma z \)，且 \( dx = \sigma dz \)。积分变为：
\[
Var(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} (\sigma z)^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} \sigma dz
\]
整理后得到：
\[
Var(X) = \sigma^2 \int_{-\infty}^{+\infty} z^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} dz
\]
最后一个积分是一个关于标准正态分布的二阶矩积分，其结果为 1：
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} z^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} dz = 1
\]
因此，正态分布的方差为：
\[
Var(X) = \sigma^2
\]
结论
通过以上推导，我们可以明确地得出正态分布的期望和方差分别为：
- 期望：\( E(X) = \mu \)
- 方差：\( Var(X) = \sigma^2 \)
这些结论不仅验证了正态分布的基本性质，也为实际应用提供了坚实的理论基础。希望本文能帮助读者更好地理解正态分布的核心概念及其数学推导过程。
