【微积分公式介绍】微积分是数学中非常重要的分支，广泛应用于物理、工程、经济学等多个领域。它主要研究函数的变化率（微分）和累积过程（积分）。本文将对微积分中的一些基本公式进行总结，并以表格形式展示。
一、微分公式
微分用于求函数在某一点的瞬时变化率，即导数。以下是常见的微分公式：
| 函数 | 导数 |
| $ f(x) = c $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $ | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = a^x $ | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
二、积分公式
积分用于计算函数在某一区间内的面积或累积总量。以下是一些常见的不定积分公式：
| 函数 | 不定积分 | ||
| $ f(x) = c $ | $ \int c \, dx = cx + C $ | ||
| $ f(x) = x^n $（$ n \neq -1 $） | $ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ | ||
| $ f(x) = \sin x $ | $ \int \sin x \, dx = -\cos x + C $ | ||
| $ f(x) = \cos x $ | $ \int \cos x \, dx = \sin x + C $ | ||
| $ f(x) = e^x $ | $ \int e^x \, dx = e^x + C $ | ||
| $ f(x) = \frac{1}{x} $ | $ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln | x | + C $ |
| $ f(x) = \frac{1}{x^2 + a^2} $ | $ \int \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | ||
| $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} $ | $ \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx = \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C $ |
三、常用微积分法则
除了基本公式外，还有一些重要的微积分法则，帮助我们处理更复杂的函数：
| 法则名称 | 内容 |
| 常数倍法则 | $ \int cf(x) \, dx = c \int f(x) \, dx $ |
| 加法法则 | $ \int [f(x) + g(x)] \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx $ |
| 分部积分法 | $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $ |
| 换元积分法 | $ \int f(g(x))g'(x) \, dx = \int f(u) \, du $，其中 $ u = g(x) $ |
| 牛顿-莱布尼茨公式 | $ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) $，其中 $ F $ 是 $ f $ 的原函数 |
四、总结
微积分是理解变量变化与累积关系的重要工具。掌握基本的微分与积分公式，以及相关的运算规则，有助于解决实际问题。无论是科学计算还是工程分析，微积分都扮演着不可或缺的角色。
通过上述表格和说明，可以系统地了解微积分中的核心内容，为深入学习打下坚实基础。
