【10个常用麦克劳林公式】在数学分析中，麦克劳林公式是泰勒展开式在 $ x = 0 $ 处的特例，广泛应用于函数近似、极限计算和微分方程求解等领域。掌握常用的麦克劳林展开式对学习高等数学、物理和工程学具有重要意义。
以下是10个常见的麦克劳林公式，适用于初等函数的展开与近似计算：
| 函数 | 麦克劳林展开式（前几项） | 收敛区间 |
| $ e^x $ | $ 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ |
| $ \sin x $ | $ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ |
| $ \cos x $ | $ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ |
| $ \ln(1+x) $ | $ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots $ | $ (-1, 1] $ |
| $ \arctan x $ | $ x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots $ | $ [-1, 1] $ |
| $ (1+x)^a $ | $ 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2!}x^2 + \frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3 + \cdots $ | $ (-1, 1] $（当 $ a $ 为任意实数时） |
| $ \sinh x $ | $ x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ |
| $ \cosh x $ | $ 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ |
| $ \tan x $ | $ x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \cdots $ | $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $ |
| $ \log(1+x) $ | $ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots $ | $ (-1, 1] $ |
这些公式不仅有助于理解函数的局部行为，还能在实际问题中用于数值计算和误差估计。例如，在工程中，可以通过截断麦克劳林级数来近似复杂的函数，从而简化计算过程。
需要注意的是，不同函数的收敛区间各不相同，使用时应结合具体应用场景判断是否适用。此外，某些函数如 $ \ln(1+x) $ 和 $ \arctan x $ 的展开式在端点处可能需要额外验证其收敛性。
掌握这些基本的麦克劳林展开式，能够为后续学习微积分、复变函数、信号处理等内容打下坚实的基础。
