在概率论与数理统计中，二项分布是一种非常重要的离散型随机变量分布。它描述了在固定次数的独立重复试验中，成功次数的概率分布情况。假设我们进行 \( n \) 次独立的伯努利试验，每次试验成功的概率为 \( p \)，那么随机变量 \( X \) 表示成功次数，则 \( X \) 服从参数为 \( n \) 和 \( p \) 的二项分布。

对于一个二项分布 \( B(n, p) \)，其数学期望（均值）和方差是两个关键的统计量。数学期望表示随机变量可能取值的平均结果，而方差则衡量这些取值偏离平均值的程度。

首先，我们来看数学期望的计算公式：

\[

E(X) = np

\]

这个公式的直观理解是，每次试验成功的概率为 \( p \)，共进行了 \( n \) 次试验，因此总的期望成功次数就是 \( np \)。

接着，我们探讨方差的计算公式：

\[

D(X) = np(1-p)

\]

这里 \( 1-p \) 表示失败的概率。方差的计算结合了成功和失败的可能性，反映了随机变量的波动性。

这两个公式的推导基于概率的基本原理和数学期望及方差的定义。通过这两个公式，我们可以快速评估二项分布的中心位置（期望）和分散程度（方差），这对于实际问题中的风险评估和决策制定具有重要意义。

总之，掌握二项分布的数学期望和方差公式，不仅能够帮助我们更好地理解和分析相关数据，还能在实践中提供有力的支持。

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